Изображения на плоскости получают методом проецирования. Аппарат проецирования представлен на рисунке 1.
Рисунок 1. Аппарат проецирования
Объект проецирования — точка А. Через точку А проходит проецирующий луч i с направлением к картинной плоскости, называемой плоскостью проекций. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций называется проекцией точки. Обозначение проекции точки должно содержать индекс плоскости проекций. Например, при проецировании на плоскость Пn проекция точки будет обозначена — Аn.
Виды проецирования
Различают центральное и параллельное проецирование. В первом случае источник лучей находится в обозримом пространстве — точка S собственная, во втором — источник лучей расположен в бесконечности. Схемы центрального и параллельного проецирования приведены соответственно на рисунках 2 и 3. Модель центрального проецирования — пирамида (рисунок 4) или конус; модель параллельного проецирования — призма (рисунок 5) или цилиндр.
Рисунок 2. Схема центрального проецирования
Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое однозначно не определяет форму и размеры предмета. На рисунке 1 проекция точки А — Аn не определяет положение самой точки в пространстве, поскольку по одной проекции невозможно определить расстояние, на котором точка находится от плоскости П. Наличие только одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях, когда невозможно воспроизвести пространственный образ (оригинал) предмета, говорят о необратимости чертежа.
Рисунок 3. Схема параллельного проецирования
Рисунок 4. Модель центрального проецирования (пирамида)
Для исключения неопределенности объекты проецируют на две, три и более плоскостей проекций. Ортогональное проецирование на две плоскости предложил французский геометр Гаспар Монж (ХVIII век). Метод Монжа представлен на рисунке 6,а,б,в (а — наглядное изображение точки в двугранном угле, б — комплексный чертеж точки, в — восстановление объекта, точки А, в пространстве по ее проекциям).
Рисунок 6. Проецирование точки:
а — образование проекций пространственной точки А;
б — чертеж точки А;
в — восстановление пространственного образа точки А по проекциям А1 и А2
Инвариантные свойства параллельных проекций:
- проекция точки есть точка;
- проекция прямой в общем случае прямая;
- проекции взаимно параллельных прямых в общем случае — параллельные прямые;
- проекции пересекающихся прямых — пересекающиеся прямые, при этом точки пересечения проекций прямых лежат на одном перпендикуляре к оси проекций;
- если плоская фигура занимает положение, параллельное плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру.
Различают косоугольные и прямоугольные параллельные проекции. Если проецирующие лучи направлены к плоскости проекций под углом, отличным от прямого, то проекции называют косоугольными. Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций, то полученные проекции называют прямоугольными. Для прямоугольных проекций используют термин ортогональные от греческого ortos — прямой.
При ортогональном проецировании в пространство вводят две или три взаимно перпендикулярные плоскости, которым присваивают следующие названия и обозначения:
- горизонтальная плоскость проекций — П1
- фронтальная плоскость проекций — П2
- профильная плоскость проекций — П3
Плоскости проекций бесконечны и, пересекаясь, делят пространство на восемь частей — октантов, как показано на рисунке 7.
Рисунок 7. Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1, П2 и П3 делят пространство на восемь частей (октантов)
Читать еще: Стилизованный вакинг и хип хоп. Танец вакинг
В практике построения изображений чаще всего используют первый октант, который далее будем называть трехгранным углом. Наглядное изображение трехгранного угла приведено на рисунке 8.
Рисунок 8. Трехгранный угол, первый октант
При пересечении плоскостей проекций образуются прямые линии — оси проекций:
Если оси проградуировать, то получится координатная система, в которой легко построить объект по заданным координатам. Система прямоугольных координат была предложена Декартом (ХVIIIв.). Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций. На рисунке 9 показано преобразование трехгранного угла и образование комплексного чертежа точки А.
Рисунок 9. Преобразование трехгранного угла и образование чертежа точки в трех проекциях
а — наглядное изображение, б — развертка трехгранного угла, в — чертеж точки
На рисунке 10 приведен комплексный чертеж прямого кругового конуса, отмечена точка S — вершина конуса. Оси проекций X, Y, Z не показаны, что часто используется в практике построения чертежей.
Рисунок 10. Пример чертежа конуса и принадлежащей точки S. Чертеж выполнен без указания осей проекций
- В.Н. Быкова Г.Д. Мефодьева Л.Я. Мефодьева В.И. Сединин Инженерная и компьютерная графика: Учебное поcобие — Новосибирск: СибГУТИ, 2010
- В.С. Дукмасова, В.А. Краснов МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ: Учебное поcобие — Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2006
Вместе со статьей «Метод начертательной геометрии. Виды проецирования» читают:
История развития начертательной геометрии. Предмет и метод начертательной геометрии. Виды проецирования. Комплексный чертеж точки
Лекция №1
Введение
Данный курс лекций разработан для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Курсом лекций могут пользоваться студенты дневной и заочной форм обучения. В данном издании представлен курс начертательной геометрии в объеме 36 учебных часов. Общее число лекций – 12. Теоретический материал снабжен графическими иллюстрациями. К каждой лекции составлены контрольные вопросы, на которые рекомендуется ответить после изучения теоретического материала лекции.
Для облегчения усвоения теоретического материала и приобретения навыков в решении задач автором разработаны схемы различных типов по некоторым темам. Используется три типа схем: классификационные, структурно-логические и ориентировочной основы действий. Классификационные схемы по темам «Прямые и плоскости общего и частного положения», «Конкурирующие точки» предназначены для систематизации теоретического материала, более прочного запоминания и усвоения понятий. Структурно-логическая схема по теме «Поверхности» служит для систематизации, обобщения, уяснения логических связей между понятиями. Она содержит информацию об образовании различных типов поверхностей, о принадлежности их к различным классам. Схемы ориентировочной основы действий разработаны по темам «Определение натуральной величины отрезка», «Способы преобразования чертежа». Эти схемы содержат алгоритм решения задачи с описанием пошаговых операций и являются практическим руководством при решении типовых задач. Схемы даны в приложении.
1. История развития инженерной графики
Начертательная геометрия занимает особое положение среди других наук. Она является лучшим средством развития у человека пространственного мышления и воображения.
Начертательная геометрия – один из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры, представляющие собой совокупность точек, линий, поверхностей, изучаются по их плоским изображениям или проекциям.
Основная задача начертательной геометрии заключается в сопоставлении трёхмерного объекта с его плоской проекционной моделью.
Плоское изображение предмета или детали называется её чертежом. Чертёж – это не просто рисунок, а конструкторский документ. Он выполняется по соответствующим требованиям, единым стандартом. Его можно назвать своеобразным языком, в котором используются точки, линии, буквы, цифры, причём этот язык является интернациональным, т.к. он понятен любому инженеру и не зависит от языка.
При помощи этих простых геометрических элементов (точек, линий и т.д.) человек имеет возможность изобразить сложнейшие механизмы, приборы, здания и т.д.
Читать еще: Ураганам принято давать имена. Справка
Методы начертательной геометрии находят широкое применение в физике, химии, механике, кристаллографии, архитектуре и применяются практически во всех отраслях промышленности, начиная от лесного хозяйства и заканчивая сложнейшей электроникой космических летательных аппаратов.
Начертательная геометрия, как и другие разделы математики, развивает логическое мышление и поэтому входит в число фундаментальных дисциплин инженерного образования.
Начертательная геометрия и инженерная графика укладываются в рамки одной учебной дисциплины и выполняют одну и ту же задачу – сопоставление трёхмерного объекта с его плоской проекционной моделью. Отличие между ними заключается в том, что в инженерной графике под трёхмерным объектом понимается конкретное, материально воплощённое задание, строительное сооружение или деталь, в то время как начертательная геометрия имеет дело с абстрактными, отвлечёнными моделями. В этом смысле инженерная графика представляет собой очень частное ответвление начертательной геометрии, её узкоспециализированный подраздел. Но, благодаря такой узкой практической направленности инженерной графики, в ней появляются совершенно новые вопросы, к начертательной геометрии отношения не имеющие. Сюда относятся правила оформления чертежей, сведения об использовании технических стандартов и ряд других вопросов.
История развития начертательной геометрии уходит корнями в глубокую древность. Об этом свидетельствуют памятники древнего искусства, строительные и архитектурные формы, сохранившиеся до нашего времени. Ещё древние египтяне пытались изображать объекты в виде плоских проекций, но это всё осуществлялось стихийно, без использования твёрдо установленных правил и закономерностей.
Первое сохранившееся систематизированное изложение инженерного опыта относится к 16-13 годам до н.э.: сочинение под названием «Десять книг об архитектуре» написал римский зодчий и инженер Марк Витрувий Поллион.
Примерно в это же время расцвета культуры древней Греции шло интенсивное накопление геометрических знаний. Появилась вычислительная геометрия. Пифагор, Эвклид и др. систематизировали геометрические сведения. Эвклид издал труд под названием «Начала» –15 книг, куда вошли определения, постулаты, основные аксиомы и теоремы. Он построил науку геометрию так, как она есть сейчас. Мы до сих пор пользуемся ей почти без изменений. Из учёных этой же эпохи можно назвать также Архимеда, Фалеса.
Следующим рывком в развитии наук, искусств и техники явилась эпоха Возрождения. Вопросам построения наглядных изображений (перспективы) уделяли в то время большое внимание многие известные учёные, инженеры, зодчие и художники. Среди них Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Леон Баттист, Гвидо Убальди. Такое повышенное внимание к этой теме было вызвано развитием техники, усложнением архитектурно-строительных задач, а также общим духом времени, направленным на культ научного метода и научного знания.
Достигнутые здесь успехи не прошли даром и принесли свои плоды в годы французской революции (18 век). Геометры этого времени — Жерар де Зак, Паскаль и другие. Паскалем были изучены конические сечения. Крупный математик, инженер, член Парижской Академии наук Гаспар Монж выступил со своей работой «Начертательная геометрия» в 1798 г. В этом научном труде впервые была проработана идея адекватного отображения трёхмерного пространства на плоскость с помощью проекционного метода. Вариант такого отображения, который называется системой ортогонального проецирования на три плоскости проекций, используется до настоящего времени. Гаспар Монж считается основоположником начертательной геометрии.
С тех пор начертательная геометрия пополнилась некоторыми вспомогательными вариантами проекционных изображений (аксонометрия) и постепенно оформлялась жёсткими правилами, требованиями, стандартами. Весь этот материал в совокупности составил основу современной инженерной графики.
Наряду с этим тенденция к обобщению привела к объединению идей Г. Монжа и исследователей эпохи Возрождения. В результате этого возникла классическая начертательная геометрия, предназначенная для изучения геометрических образов трёхмерного пространства. Развивалась проективная геометрия (Х. Винер, Г. Гаук, Э. Мюллер), рассматривались проблемы отображения многомерного геометрического пространства и способы построения нелинейных изображений (В. Фидлер, Е.С. Фёдоров). Эти исследования составили область математически абстрагированной начертательной геометрии.
Читать еще: Николай витальевич лысенко. Николай лысенко
Русские инженеры и зодчие пользовались на практике проекционными чертежами, в том числе и системой ортогональных проекций задолго до появления Г. Монжа. Об этом свидетельствуют сохранившиеся документы, относящиеся к началу XIX века (изобретатель Кулибин и зодчие С.И. Чевакинский, К.А. Ухтомский, В.И. Баженов). В те времена в инженерных школах преподавалось черчение. В Перновском военно-техническом училище 1731-1733 г. преподавание математических наук, фортификации и черчения вёл А.П. Ганнибал – прадед А.С. Пушкина. В начале XIX века в высших и средних учебных заведениях началось преподавание начертательной геометрии. Шарль Потье читал курс лекций в Московском институте инженеров путей сообщения. Появились первые учебные пособия (Я.С. Севастьянов, Н.И. Макаров, В.И. Курдюмов ) по начертательной геометрии в строго классическом её понимании. И в этом виде дисциплина сохранилась до 20 века.
Примерно с середины 40-х годов началось развитие вычислительной техники, появились ЭВМ. Среди разнообразных функций, доступных компьютеру, могут быть: выполнение графиков, схем и чертежей. Возникла специальная учебная дисциплина – «Машинная графика», которая, с 1987 г. вошла в учебную программу подготовки инженеров.
Чертежик
Метки
Методы проецирования по начертательной геометрии
Методы проецирования заключается в том, что любая точка пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Ортогональное проецирование — это такой метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций.
Итак, чтобы получить проекцию какой-либо точки А на плоскость проекций (ее также называют картинной плоскостью) П , необходимо через заданную точку из центра проекций S провести проецирующий луч SА до пересечения с плоскостью проекций П. Полученная точка А называется
А – геометрический образ.
Пространства;
S – центр проекций;
SА— проецирующий луч;
А – проекция точки А;
П – плоскость проекций.
В зависимости от положения центра проекций S относительно плоскости проекций П, методы проецирования делятся на 2 вида:
В методе центрального проецирования все проецирующие лучи проходят через общую точку S. На рис.2 представлена кривая ℓ точками А, В, С и ее центральная проекция ℓ1 (А1, В1, С1) на плоскость П1. Пучок лучей, выходящий из центра S при пересечении с плоскостью проекций П1, образует коническую поверхность Σ.
Σ ∩ П1 Σ е z^> (А1, В1, С1 ) — центральная проекция линии
(собственная). А, В, С – произвольные точки, принадлежащие линии ℓ.
S – конечная точка.
Если центр проекций S – бесконечно удаленная точка, то все проецирующие лучи параллельны между собой. Для проведения этих лучей задается направление проецирования S ∞ .
На рисунке показано построение параллельной проекции кривой ℓ1 (А1,В1,С1) на плоскость П1. Параллельные лучи образуют цилиндрическую поверхность Σ.
В свою очередь, параллельное проецирование делится на 2 вида, которые зависят от угла наклона проецирующих лучей к плоскости проекций:
Каждый из лучей лежит относительно плоскости П1 под углом 90 0 .
φ — угол наклона проецирующего луча к плоскости проекций П1.
При косоугольном проецировании проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный 90° .
Источники:
http://digteh.ru/InjGraf/Proec/
http://studopedia.ru/1_89166_istoriya-razvitiya-nachertatelnoy-geometrii-predmet-i-metod-nachertatelnoy-geometrii-vidi-proetsirovaniya-kompleksniy-chertezh-tochki.html
http://chertegik.ru/vidi-proecirovania/